Статья

Название статьи РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ НИКИПОРЦА-РУТИСХАУЗЕРА
Автор В.Ф. Гузик, Г.А. Кириченко, В.И. Шмойлов
Рубрика РАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
Месяц, год 06, 2015
Индекс УДК 517.524
DOI
Аннотация φПриводятся аналитические выражения, представляющие все корни произвольного алгебраического уравнения n-й степени через коэффициенты исходного уравнения. Эти формулы состоят из двух отношений бесконечных определителей Теплица, диагональными элементами которых являются коэффициенты алгебраического уравнения. Такие конструкции были названы непрерывными дробями Никипорца. Для эффективного вычисления значений непрерывных дробей Никипорца используется рекуррентный алгоритм Рутисхаузера. При нахождении корней полинома применяется алгоритм суммирования расходящихся непрерывных дробей (r/φ-алгоритм). Комплексные корни определяются из рассмотрения значений длинной серии подходящих непрерывных дробей. Предлагаемый алгоритм нахождения нулей полинома имеет две особенности в сравнении с существующими методами решения алгебраических уравнений. Первая и, пожалуй, принципиально важная особенность: предложен простой аналитический способ записи всех корней уравнения n-й степени по коэффициентам исходного уравнения. Вторая особенность предложенного алгоритма нахождения нулей полинома n-й степени, – простота и регулярность информационного графа алгоритма, что делает его привлекательным при аппаратной реализации в решающем поле суперкомпьютеров с реконфигурируемой структурой. В качестве примера рассмотрено решение алгебраического уравнения 39-й степени.

Скачать в PDF

Ключевые слова Алгебраические уравнения; бесконечные определители Теплица; расходящиеся непрерывные дроби; r/φ-алгоритм.
Библиографический список 1. Михалкин Е.Н. Некоторые формулы для решений триномиальных и тетраномиальных алгебраических уравнений // Журнал СФУ. Серия: Математика и физика. – 2012. – Т. 5, № 2. – С. 230-238.
2. Кириченко Г.А., Шмойлов В.И. Алгоритмы суммирования расходящихся непрерывных дробей и некоторые его применения // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2015. – Т. 55, № 4. – С. 558-573.
3. Шмойлов В.И., Кириченко Г.А. Решение алгебраических уравнений непрерывными дробями Никипорца // Известия Саратовского университета. Серия: Математика. Механика. Информатика. – 2014. – Т. 14. – Вып. 4, ч. 1. – С. 428-439.
4. Shmoylov V.I., Kirichenko G.A. The solution of algebraic equations of continued fractions of Nikiports // Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics. – 2014. – № 7 (4). – P. 533-547.
5. Шмойлов В.И., Коваленко В.Б. Решение алгебраических уравнений непрерывными дробями // Искусственный интеллект. – 2011. – № 1. – С. 260-270.
6. Кутищев Г.П. Решение алгебраических уравнений произвольной степени: теория, методы, алгоритмы. – М.: Изд-во URRS, 2010. – 232 с.
7. Корчагин И.Ф. Алгебраические уравнения. – М.: Физматкнига, 2006. – 160 с.
8. Шмойлов В.И. Решение алгебраических уравнений непрерывными дробями // Нац. акад. наук Украины. Ин-т приклад. проблем механики и математики. – Львов:, 2004. – 599 с.
9. Хемминг Р.В. Численные методы для научных работников и инженеров. – М.: Наука, 1972. – 400 с.
10. Шмойлов В.И., Тучапский Р.И. Алгебраические уравнения. Бесконечные системы линейных алгебраических уравнений // Библиографический указатель. Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. – Львов, 2003. – 83 c.
11. Михалкин Е.Н. О решении общих алгебраических уравнений с помощью интегралов от элементарных функций // Сибирский математический журнал. – 2006. – Т. 47, № 2. – C. 365-371.
12. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби: в 3 т. Т. 2. Расходящиеся непрерывные дроби // НАН Украины, Ин-т прикл. проблем механики и математики. – Львов: Меркатор, 2004. – 558 с.
13. Шмойлов В.И., Коваленко В.Б. Некоторое применения алгоритма суммирования расходящиеся непрерывных дробей // Вестник Южного научного центра РАН. – 2012. – № 4 (149). – С. 3-13.
14. Шмойлов В.И., Савченко Д.И. Об алгоритме суммирования расходящихся непрерывных дробей // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. – 2013. – № 2. – С. 258-276.
15. Гузик В.Ф., Шмойлов В.И., Кириченко Г.А. Непрерывные дроби и их применение в вычислительной математике // Известия ЮФУ. Технические науки. – 2014. – № 1 (150). – С. 158-174.
16. Шмойлов В.И. Расходящиеся системы линейных алгебраических уравнений. – Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2010. – 205 с.
17. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби и r/-алгоритм. – Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2012. – 608 с.
18. Шмойлов В.И., Редин А.А., Никулин Н.А. Непрерывные дроби в вычислительной математике. – Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2015. – 228 с.
19. Aitken A.C. On Bernulli's numerical solution of algebraic equations. Edinburg, Proc. Roy. Soc., (1925/26). – P. 289-305.
20. Рутисхаузер Г. Алгоритм частных и разностей. – М.: ИИЛ, 1960. – 93 с.

Comments are closed.